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在网上浏览时见到鲁晨光之《漫谈投资组合的几何增值理论》，联想起笔者早年研究凯莉方程式的经历以及笔者在在 Roy兄之《投注策略和风险控制》一文中推导凯莉方程的最一般形式的过程，深有感触。鲁先生的系列短文系统地揭示了各种情形下的可能投资组合并给出了相应的数学推导。虽然该文是以股市或者期货作为研究背景，但是其中的很多内容与体育博彩亦息息相关。
笔者早年研究凯莉方程式时曾经疑惑于如何确定 P值。通过近期的讨论和体会，目前对于 P值的确定已经有了初步的、可操作的方法。这样对于利用凯莉准则确定最优投注比例已不再是无的放矢。鲁先生的文章使我在注码分布及控制方面建立了清晰的构架，更重要的是，这些思想对一直困扰笔者的“长期规律与短期周期”的关系问题也有很大的启示。
鉴于此，特将鲁先生的系列短文转载于2-10楼，以期与对此有兴趣的朋友共同探讨。由于版面问题，将原文中的图表略去（读者可在网上搜索原文），同时笔者也规范了文中的部分公式，并在不影响原文的前提下有所删减，请各位见谅。
系列短文：《漫谈投资组合的几何增值理论》
1 从掷硬币打赌看投资组合问题
2 马科维茨理论及其缺陷
3 几何级数增值的魅力
4 掷硬币打赌问题的数学解答
5 股票和国债的投资组合优化
6 怎样战胜小神仙
7 鸡蛋和篮子问题
8 反相关组合对几何增值的影响
9 期货市场存在的合理性
另：为使读者系统地阅读，不建议大家无目的地回复本贴。
1、从掷硬币打赌看投资组合问题
什么是投资组合？首先我们从掷硬币打赌谈起。
假设有一种可以不断重复的投资或打赌，其收益由掷硬币确定，硬币两面出现的可能性相同；出 A面你投一亏一，出B面你投一赚二；假设你开始只有100元，输了没法再借。现在问怎样重复下注可以使你尽快地由百元户变为百万元户?
我们可以象小孩子玩登山棋那样，几个人下不同的赌注，然后重复掷硬币，看谁最先变成百万富翁。你可能为了尽快地变为百万富翁而全部押上你的资金。可是只要有一次你输了，你就变成穷光蛋，并且永远失去发财机会。你可能每次下注10元。但是，如果连输10次，你就完了。再说如果你已经是万元户了，下10元是不是太少了? 每次将你的所有资金的10% 用来下注，这也许是个不错的主意。首先，你永远不会亏完（假设下注的资金可以无限小）；第二，长此以往，赢亏的次数大致相等时，你总是赚的。假设平均两次，你输一次赢一次，则你的资金会变为原来的(1+0.2)*(1-0.1)=1.08倍。可是，以这样的速度变为百万富翁是不是太慢了，太急人了? 有没有更快的方法? 理论研究表明，每次将你所有资金的 25%用来下注，你变为百万富翁的平均速度将最快。
几个不同下注比例带来的资金变化如图1所示(掷币结果分别是A, B, A, B, ...)。实验表明，张大胆每次投100％，嬴时嬴得多，可亏时亏得惨，一次亏损就永远被淘汰出局。李糊涂每次下50％，收益大起大落，到头来白忙。王保守每次下10％，稳赚但少赚；“你”每次下25％，长期看结果最好。
图1 资金增值随几种不同投资比例的变化
前面的打赌中，硬币只有一个。 如果同时有两个、三个或更多，各个硬币盈亏幅度不同，两面出现的概率也可能不同；怎样确定在不同硬币上的最优下注比例？如果不同硬币出现A面B面是不同程度相关的(比如一个出A面，另一个十有八九相同？正相关，或反相关)，又如何确定最优下注比例？股票、期货、期权、放贷、房地产、高科技等投资象掷硬币打赌一样，收益是不确定的且相互关联的。 如何确定不同证券或资产上的投资比例，以使资金稳定快速增长并控制投资风险，这就是投资组合理论要解决的问题。
投资组合也就是英文说的portfolio。当今世界上著名的投资组合理论是美国的马科维茨(H. Markowitz)理论。笔者则从自己建立的一个广义信息理论(参见专著《广义信息论》，中国科技大学出版社，1993)和自己的投资实践出发，得到了投资组合的几何增值理论，或者叫熵(shang)理论（因为其中采用了同物理学和信息论中的熵函数相似的熵函数作为优化标准）， 并完成了专著《投资组合的熵理论和信息价值兼析股票期货等风险控制》（中国科技大学出版社，1997)。现在笔者知道美国的H. A. Latane 和D. L. Tuttle最早提出了用几何平均产出比（即1+几何平均收益或平均复利）作为优化证券组合的准则；后来T. E. Cover等人研究了用几何平均产出比的对数作为优化准则. 不同的是，笔者的研究更注重应用。
2、马科维茨理论及其缺陷
1952年，马科维茨发表了《有家证券的选择：有效的转移》。这篇开创性的论文导致了一个新理论《投资组合理论》的诞生。1990年，瑞典皇家科学院将诺贝尔经济学奖授予了H. 马科维茨，W. 夏普(Shape) 和W. 米勒(Miller), 以表彰它们在投资组合和证券市场理论上的贡献。
马科维茨用收益的期望 E和标准方差σ表示一种证券的投资价值和风险。期望收益也就是算术平均收益。收益的标准方差反映了收益的不确定性。比如对于上一节谈到的掷硬币打赌，用全部资金下注时：
E =P1*r1+P2*r2
=0.5*(-1)+0.5*2
=0.5
σ=[P1(r1-E)^2+P2(r2-E)^2]^0.5
=[0.5(-1-0.5)^2+0.5(2-0.5)^2]^0.5
=1.5
上式中P1=0.5和r1=-1是亏钱的概率和幅度，P2=0.5和r2=2是嬴钱的概率和幅度。根据马科维茨理论，期望越大越好，而标准方差越小越好。标准方差反映了收益的不确定性或投资风险。至于两种证券或两种组合，一个比另一个期望收益大，标准方差也大，那么选择哪一个好呢？马科维茨理论认为这没有客观标准。有人不在乎风险而只希望期望收益越大越好，而有人为了小一些的风险而情愿要低一些的期望收益。
马科维茨证明了，通过分散投资互不相关或反相关的证券，可以在不降低期望收益的情况下，减小总的投资的标准方差(即风险)。比如同时用两个硬币打赌，嬴亏幅度同样，每种证券下注50% 时, 收益的可能性有三种：
1)两边亏，亏 100%，概率是1/4=0.25
2)一亏一嬴，嬴50%, 概率是1/2=0.50
3)两边嬴，嬴 200%，概率是1/4=0.25
这时期望收益E=0.5不变，标准方差由1.5减小为：
σ=[0.25(-1-0.5)^2+0.5(0.5-0.5)^2+0.25(2-0.5)^2]^0. 5=1.06
如果两个硬币的嬴亏总是反相关的，比如一个出A面，另一个必定出B面（反之亦然）；则期望收益不变，标准方差为零——完全无风险。
马科维茨理论的成就是巨大的，但是其缺陷也是不可忽视的。缺陷之一是：不认为有客观的最优投资比例，或者说并不提供使资金增值最快的投资比例(当然也就不能解决前面的掷硬币打赌问题)； 缺陷之二是：标准偏差并不能很好反应风险。下面我们举例说明。
例：两种证券当前价格皆是1元，证券I(象是期权)未来价格可能是0元和2元，概率分别为1/4和3/4（参看图1，其中产出比=产出比=本利和/本金=1+收益)。证券II(象是可转换债券)的收益的期望和标准方差同样是0.5和0.886，但是收益的概率分布以0.5为中心(产出比以1.5为中心，)对称反转了一下.两者投资价值分析如表1所示(这里忽略银行利息和交易手续费)。
图 1 期望和标准方差相同但风险不同的两个证券
表 1 期望和标准方差相同的两种证券的投资价值分析
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投资 标 准 下100%时 优化 优化后平均
期望 方 差 平均复利 比例 复利比例
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证券 I 0.5 0.886 －100% 50% 15%
证券 II 0.5 0.886 32% 100% 32%
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表中最优投资比例?100%意味着：如果可以贷款或透支，投更多更好。按Markowitz理论，A和B投资价值相同，而按常识和投资组合的几何增值理论，B远优于A。对于存在大比例亏损可能的投资，比如期权、期货、放贷(可能收不回本金)、卫星发射和地震保险（风险极大而标准方差并不大），马科维茨理论的缺陷尤为明显。 |
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发表于 2014-3-31 13:25
